cours physique3 vibrations et ondes de Pr. Djelouah Hakim

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cours physique3 vibrations et ondes de Pr. Djelouah Hakim

Pr. Djelouah Hakim c'est un professeur à Faculté de Physique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène à alger, algerie.

Table des matières

1 Introduction aux équations de Lagrange
1.1 Equations de Lagrange pour une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Cas des systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse . . . . . . . . 8
1.1.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps . . . . . . . . . . . 9
1.2 Système à plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté
2.1 Oscillations non amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Energie Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Equation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5 Résolution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Oscillations libres des systèmes amortis à un degré de liberté . . . . . . . . 12
2.2.1 Equation de Lagrange pour les systèmes dissipatifs . . . . . . . . . 12
2.2.2 Cas particulier des oscillations de faible amplitude . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Résolution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté
3.1 Equation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Système masse-ressort-amortisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Solution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Cas particulier où A(t) = A0 cos(Ωt) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.2 Cas d’une excitation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Impédance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Impédancesmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Systèmes à deux degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Système masses-ressorts en translation . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Pendules couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté
5.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Système masses-ressorts-amortisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.2 Etude du régime permanent sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Généralités sur les phénomènes de propagation
6.1 Propagation à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1.2 Solution de l’équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1.3 Onde progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales . . . . . . . . 45
6.1.5 Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.6 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1.7 Onde Vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Propagation en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.2 Onde plane progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Cordes vibrantes
7.1 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Ondes progressives harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.2 Force en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2.3 Impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Oscillations libres d’une corde de longueur finie . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.4 Réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.4.1 Réflexion et transmission entre deux cordes semi-infinies . . . . . . 56
7.4.2 Réflexion sur une impédance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Ondes acoustiques dans les fluides
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.4 Onde progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.4.2 Impédance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.4.3 Energie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.5 Reflexion-Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9 Propagation d’une onde électrique dans une ligne coaxiale
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     68
9.2 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3 Solution de l’équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.4 Onde Progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.4.2 Impédance en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10 Eléments d’analyse vectorielle
10.1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.2 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.3 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.5 Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Laplacien vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.7 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.8 Théorème de Stokes-Théorème deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.8.1 Circulation d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.8.2 Flux d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.8.3 Théorème de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence) . . 74
11 Les équations de Maxwell dans le vide
11.1 Le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.1.1 Champ électromoteur et vecteur densité de courant . . . . . . . . . 75
11.1.2 Le champmagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.2 Le régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2.1 Le phénomène de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2.2 Le phénomène d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2.3 Le phénomène de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.3 L’induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.3.1 Loi de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.3.2 Equation deMaxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.4 Le théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.4.1 Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.4.2 Le théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.5 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
12.1 Equations de propagation pour 􀂁 E et 􀂁 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.2 L’onde plane progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12.2.1 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12.2.2 Structure de l’onde uniforme plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.3 Onde plane uniforme progressive et sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.3.1 Onde de polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.3.2 Onde de polarisation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.3.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.4 Energie électromagnétique : vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.4.1 Onde de forme spatiale et temporelle quelconques . . . . . . . . . . 88
12.4.2 Onde plane progressive et uniforme sinusoïdale . . . . . . . . . . . 89
13 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques
13.1 Equations deMaxwell dans lesmilieux parfaits . . . . . . . . . . . . . . . 91
13.2 Propagation dans les milieux diélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.3 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.4 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.5 Formules de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.5.1 Champ électrique dans le plan d’incidence . . . . . . . . . . . . . . 96
13.5.2 Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence : . . . . . . . 97
13.5.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.6 Réflexion sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A Equations différentielles 
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.2 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.2.1 Régime fortement amorti ( δ > ω0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2.2 Régime critique ( δ = ωO ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.2.3 Régime pseudo-périodique ( δ < ω0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.3 Equation avec secondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.3.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.3.2 Cas particulier où A(t) est constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.3.3 Cas particulier où A(t) = A0 cos(Ωt) : . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.3.4 Cas où A(t) est une fonction périodique du temps . . . . . . . . . . 110

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