Essai Los Angeles

Solution de TP mécanique de construction: éssai de Los Angeles

Définition et But de l’essai:

Ce mode opératoire est issu de l’essai américain défini par la norme ASTM C.131.55.
      L’essai (N.F. P18.573) permet de mesurer les résistances  combinées à la fragmentation par chocs et à l’usure par frottements réciproques des éléments d’un granulat.
Il s’applique aux granulats utilisés pour la constitution des assises de chaussée, y compris les couches de roulement.Le matériau évolue pendant l’essai, d’une part par suite du choc des boulets sur le granulat (rupture fragile des éléments), d’autre part par frottement des éléments les uns sur les autres.
Matériel utilisé:
Comporte :
 Un cylindre creux en acier de 12mm ± 0.5 mm d’épaisseur, fermé à ses deux extrémités, ayant un diamètre intérieur de 711mm ± 1mm et une  longueur intérieure de 508 mm ±1 mm. Le cylindre est supporté par deux axes horizontaux fixés à ses deux parois latérales, mais ne pénétrant pas à l’intérieur du cylindre ; le montage est tel que le cylindre peut ainsi tourner sur son axe qui doit être horizontal.

Principe:

     L’essai consiste à mesurer la quantité d’éléments inférieurs à 1,6 mm produite en soumettant le matériau aux chocs de boulets normalisés et aux frottements réciproques dans la machine Los Angeles. La granularité du matériau soumis à l’essai est choisie  parmi six granularités-types, de la classe granulaire 4/6,3 mm –6,3/10 mm, se rapprochant au mieux de la granularité du matériau tel qu’il sera mis en oeuvre. Le poids de la charge de boulets varie en fonction du type de granularité.

Si P est le matériau soumis à l’essai, p le poids des éléments inférieurs à 1,6 mm produits au cours de l’essai, la résistance combinée à la fragmentation par chocs et à l’usure par frottements réciproques s’exprime par la quantité :

CLA = 100 x p / P

Cette quantité sans dimension est appelée, par définition coefficient Los Angeles’’ du matériau. Ce ouverture de 150 mm de largeur, sur

toute la longueur du cylindre, permetd’introduire l’échantillon. Pendant l’essai, cette ouverture est obturée d’une façon hermétique aux poussières par un couvercle amovible tel que la surface intérieure reste bien cylindrique.

Cette dernière est coupée par une tablette en saillie placée à une distance de 40 cm du rebord du couvercle, distance mesurée le  long du cylindre dans le sens de la marche. Cette tablette démontable, en acier dur est de section rectangulaire (longueur  égale à celle du cylindre, largeur de 90 mm ± 0,5 mm, épaisseur  de 25 mm). Elle repose, suivant un plan diamétral, le long d’une génératrice et est fixée par des boulons sur les parois latérales.

     Elle doit avoir des arêtes vives,  la charge est constituée par des boulets sphériques de 47 mm de diamètre environ et pesant 420 et 445 g. Ces boulets ne doivent pas s’user de façon trop irrégulière, un moteur d’au moins 0,75 kW, assurant au tambour de la machine une vitesse de rotation régulière comprise entre 30 et 33 tours/minute,  un bac destiné à recueillir les matériaux après essai,  un  compte tours de type        rotatif, arrêtant automatiquement le moteur au nombre le tours voulu.

b)- un jeu de tamis de 1,6mm . Leur diamètre ne devra pas être inférieur à 250 mm.

c)- une balance précise au gramme, de portée au moins égale à 10 kg,

d)- une étuve à 105 °c.

e)- des bacs et des truelles,

f)- des bacs d’environ 40 x 30 x 5 cm, à perforation inférieur à 1,6 mm.

Préparation du matériau:

  Effectuer l’essai sur un granulat, ayant une granularité conforme à l’une des six classes granulaires type, lavé et séché à l’étuve à 105°c jusqu’à poids constant

 (5 heures au minimum). La prise d’essai sera de 5 kg. La préparer de la façon suivante :

 a)- si deux essais sont envisagés, préparer, à partir de 15 kg, deux  échantillons identiques par quartage à sec. 

b)- sinon, tamiser l’échantillon à sec sur chacun des deux tamis de la classe granulaire choisie, en commençant par le tamis le plus  grand.

Recueillir dans un bac 4607 g environ du matériau tamisé. Ce poids supplémentaire de 100 g servant à compenser celui des poussières ou de la gangue terreuse. Laver cette quantité recueillie sous un jet  d’eau et la remuer à la truelle jusqu’à ce que l’eau soit claire. Après lavage, verser le matériau dans un bac perforé et égoutter quelques instants.

Sécher l’ensemble à l’étuve à 105 °c, jusqu’à poids co nstant. Retirer  le bac perforé de l’étuve et laisser refroidir. Enlever l’excédent de matériau pour ajuster le poids à P= 5 kg ± 2 g, exigé pour l’essai   Replacer le couvercle et serrer les boulons de fixation.

Mise en route de l’essai en faisant effectuer à la machine 500 rotations à une vitesse régulière comprise entre 30 et 35 tr/mn pour toutes les classes à l’exception de la classe 25–50 mm où le nombre de rotations est de 1000.

Enlever le granulat après l’essai. Recueillir le granulat dans un bac placé sous l’appareil, en ayant soin d’amener l’ouverture juste au dessus de ce bac, afin d’éviter les pertes de granulat.

Tamiser le matériau contenu dans le bac sur le tamis de 1,6 mm ; le matériau étant pris en plusieurs fois afin de faciliter l’opération.

Laver le refus à 1,6 mm dans un bac, bien remuer à l’aide d’une truelle. Puis verser dans le bac perforé, égoutter et sécher à l’étuve jusqu’à poids constant.

Peser ce refus une fois séché, soit P’ le résultat de la pesée.

P = P – P’ = 5000 – P’

Calcule :

P :le poid  initial de gravier.

P’ : le poid  finale de gravier.

CLA= 100*(4607-2300) /4607 = 50.075%    Donc le resultat  sera arrondi  à l’unté.

 CLA=100*p’/p

 CLA=100*2300/4607=49.92%.

40<CLA<50   Donc la nature du granulat  est tendre. 

CLA>40 : le granulat  peut etre utilisé  pour les remblais  par example.

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Essai de Scléromètre

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Objectif de l’essai :

Cet essai permet de tester l’homogénéité du béton in situ et d’obtenir une estimation rapide de la résistance du béton d’un ouvrage, sans procéder à des prélèvements de béton durci par carottage.

Principe de l’essai :

En fait il s’agit de tester la dureté de surface d’un béton durci. Cette dureté étant d’autant plus élevée que le béton est plus résistant, cela permet d’avoir un ordre de grandeur de la résistance atteinte par un béton à un âge donné.

Equipement nécessaire :

• Un scléromètre ; l’appareil est composé d’une masselotte qui est projetée par un ressort sur une tige métallique en contact avec la surface du béton. Le rebond de la masselotte est d’autant plus important que la surface du béton est très dure. La hauteur du rebond est lue sur une échelle graduée et permet de définir un (indice sclérométrique) Is.  
• Un bloc néoprène armé pour le tarage  du scléromètre.  

Conduite de l’essai : 

L’appareil doit être taré sur le bloc de néoprène

armé défini par la norme. Soit Ism  la médiane de

 27 mesures du rebond sur le bloc de néoprène, le 

scléromètre étant maintenu en position verticale et 

une première série de 27 mesures sur le bloc

ayant été préalablement effectuée (fig1). Si 28≤ Ism ≤ 32, l’appareil présente un fonctionnement satisfaisant. Sinon il doit être révisé. (Si les résultats des mesures sont classés dans l’ordre des rebonds croissants et  

La surface de l’ouvrage à tester est divisée en zone d’au moins 400 cm² ((par exemple 25cm x 25cm) chacune. Le scléromètre étant perpendiculaire à la surface essayée (cf. fig. 7.26), il est pris 27 mesures sur chaque zone d’essai. La distance entre deux zone de mesure est d’au moins 3 cm et aucun point ne doit se situer à moins de 3 cm de l’un des bordes de la surface  essayée. L’indice sclérométrique Is de la zone est la médiane des 27 mesures.

Très approximativement, et lorsque le scléromètre est utilisé en position horizontale, on peut relier la résistance du béton testé (fc) à l’indice sclérométrique de la manière suivant :

Mais il est plus judicieux de procéder par comparaison

 avec de l’indice sclérométrique relevé sur des

 éprouvettes 16x32 confectionnée avec le même 

béton. Pour cet essai, les éprouvettes doivent être

 maintenues entre les plateaux de la presse sous

 une charge de 10Kn. 27 mesure du rebond seront

 effectuées sur 3 génératrices, chaque mesure devant être distante de 3 cm. Aucune mesure ne doit être située à moins de 4 cm des faces planes de l’éprouvette (cf. figure. 7.27)    

Observation :

L’appareil est étalonné pour agir en position horizontale, c’est-à-dire frapper des surfaces verticales. En cas d’utilisation sur des surface inclinées ou horizontales, une correction devra être effectuée sur les valeurs du rebond conformément à la bague ou au   tableau fourni avec l’appareil.

Entre 15°c et 35°c, l’influence de la température est négligeable sur l’indice sclérométrique. En revanche, un béton gelé présente généralement un indice sclérométrique anormalement élevé. L’augmentation de la teneur en eau du béton diminue la valeur de l’indice sclérométrique.

Le scléromètre est un appareil très pratique pour obtenir rapidement des ordres de grandeur quant à la résistance d’un béton dans un ouvrage ; mais il ne teste pas la surface de ce béton et il est impuissant à rendre compte d’autre part, il ne peut tester que des éléments solidement assujettis à la structure, car déplacement, vibration ou déformation importante au moment de l’essai, peuvent fausser les indications du scléromètre.

Résultats obtenue :

Conclusion :

D’après  l’annexe 9 on trouve ɣ  en Kn/m 3 et σ en MPa pour voire la homogénéité du béton.

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concoure de magister en génie civil à l'école nationale supérieure des travaux publics 2013-2014

concoure de magister en génie civil à l'école nationale supérieure des travaux publics 2013-2014

Date du concours: lundi 21 octobre 2013

condition de participation:

Etre titulaire du diplôme d'ingénieur en travaux publique ou génie civil.

Éprouve: 

• Mécanique des structures
• Béton Armé et précontraint.
• Mécanique des sols.

Durée: 02 heures par épreuve.
Programme: cycle de formation d'ingénieur.
Lieu: Ecole nationale supérieure des travaux publics - B.P 32
1, Rue Sidi Graidi, Vieux Kouba - Alger

Les dossiers de participation doivent parvenir à Monsieur le directeur de l'école nationale supérieure des travaux publics, à l'adresse sus-indiquée, avant le 17 octobre 2013

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Solution de TP limite d'atterberg

I. ETUDE THEORIQUE :

En mécanique des sols, on distingue différentes classes de sols ; c’est ainsi, les sols pulvérulents sont les sables fins qui se présentent sous l’aspect de poudre.
Les argiles par contre, se forment les pâtes dans lesquelles chaque grain est relié aux grains voisins par des forces de cohésions dues à la présence des couches absorbées.
On appelle cohésion, l’aptitude que possède le sol à maintenir ses grains reliés les uns aux autres. Les sols doués de cohésion sont appelés sols cohérents, on distingue le cas de l’argile. Les sols qui n’ont pas de cohésion ou qui ont très peu de cohésion entre les grains sont appelés grenus ou pulvérulents, on distingue le
cas du sable.
Le comportement des sols pulvérulents est quasi- indépendant de leur teneur en eau. Ce dernier, par contre, joue un rôle fondamental dans le comportement des sols cohérents. Les sols cohérents auront une consistance liquide si la teneur de l’eau est élevée, pâtes si la teneur de l’eau est modérée, et solide si la teneur de l’eau est très faible.
- A l’état liquide, les grains de sol sont indépendants et ne se touchent pas. Leurs mouvements relatifs sont très aisés.
- A l’état plastique(pâtes) les grains sont rapprochés et ont mis en commun l’eau absorbée qui agit comme un sachet en plastique dans lequel les grains peuvent se mouvoir sans s’écarter.
- A l’état solide, les grains se sont encore plus près les uns des autres, ils
arrivent même au contact en quelques points en chassant l’eau absorbée. Les frottements internes sont alors importants.
Par humidification(augmentation de la teneur de l’eau) ou par séchage (diminution de la teneur de l’eau) le sol cohérent passera d’un état de consistance à un autre de manière progressive.

Néanmoins Atterberg, ingénieur agronome suédois, a défini en 1911, des teneurs en eau limites qui séparent le passage du sol d’un état de consistance à un autre. Ces teneurs en eau particulière sont appelées limites de consistance ou limites d’Atterberg

La limite de liquidité notée WL :

Par définition, la limite de liquidité est la teneur en eau (exprimée en %) qui correspond à une fermeture en 25 chocs.

La limite de plasticité notée Wp :

Par définition, la limite de plasticité est la teneur en eau (exprimée en %) du fuseau qui se brise en petits tronçons de 1 à 2 cm de long au moment où son diamètre atteint 3 cm.
Ces teneurs en eau limites sont déterminées expérimentalement sur la fraction du sol (le mortier) qui passe au tamis 0,4 mm.
On exprime l’étendue du domaine de plasticité, l’étendue des teneurs en eau pour lesquelles le sol garde une consistance plastique par un paramètre, l’indice de plasticité (Ip), cet indice marque l’étendue du domaine plastique, c'est-à-dire la différence entre la limite de liquidité et la limite de plasticité.
Ip=WL –Wp

Principe de détermination des limites de consistance :

La limite de liquidité :

La limite de liquidité se détermine en utilisant l’appareil de casa grande. On étend sur une coupelle une couche d’argile dans laquelle on trace une rainure au moyen d’un instrument en forme de V. on imprime à la coupelle des chocs semblables en comptant le nombre de chocs nécessaires pour fermer la rainure sur 1 cm, on mesure alors la teneur en eau de la pâte, bien entendu, tout l’appareillage est rigoureusement normalisé.
Toujours est – il que, l’expression a prouvé qu’il existe une relation entre le nombre de chocs N et la teneur en eau W. la représentation de cette relation est une droite en coordonnées semi- logarithmiques lorsque le nombre de chocs est compris entre 15 et 35. pour le même intervalles des valeurs de N, la formule suivante permet de déterminer la limite de liquidité à l’aide d’une ou deux mesures seulement.
WL = (N/25 )0 ,121

La limite de plasticité :

Pour déterminer la limite de plasticité, on roule l’échantillon en forme de fuseau qu’on amincit progressivement. La limite de plasticité est la teneur en eau du fuseau qui se brise en petits tronçons de 1 à 2 cm de long au moment où son diamètre atteint 3 cm. On exécute en général, 2 essais pour déterminer cette limite.

- indic e vde plasticité :

L’indice de plasticité Ip est la différence entre la limite de plasticité et la limite de liquidité, il mesure l’étendue du domaine de plasticité du sol. Il s’exprime donc par la relation :
Ip = WL – Wp

II. MANIPULATION :

Appareillage :

- appareil de gasagrande
- coupelle
- spatule
- bascule électronique
- l’outil à rainure en V
- four électrique

Opération :

Pratiquement nous avions suivi le même processus pré expliqué. C’est ainsi que nous aurions à chercher la limite de liquidité pour notre échantillon. Nous étendons sur une coupelle du mortier un échantillon de sol ayant passé à travers d’un tamis de 0,42 mm, dans laquelle nous avions imprimé une rainure au moyen de l’outil en V.

Plaçons cette coupelle sur l’appareil de casagrande en lui imprimant une série de chocs (coups) réguliers à raison de deux chocs par seconde. Comptons le nombre de coups N pour que les lèvres inférieures de l’entaille se touchent sur 1 cm de long.
Nous avions repris l’opération trois fois de suite avec des teneurs en eau différentes.
A l’aide de la spatule prélevons quelques grammes du mortier à l’endroit où les lèvres se sont refermées de 1 cm. Plaçons ce mortier dans une tare afin de le peser sur une bascule électronique. Cette opération ayant été repris trois fois de suite alors ces pesés vont nous donner les poids total secs. Connaissant le poids de la tare nous pouvons calculer :
- poids de l’eau (Pe) : Pe = (poids total humide)-(poids total sec, Pg)
Pg = (poids total sec)-(poids de la tare)
- teneur en eau (W) :
- W = (poids de l’eau)/(poids sec).
Les résultats obtenus sont illustrés dans le tableau suivant :

Commentaire du tableau :

Les quatre essais réalisés pour déterminer la limite de liquidité avec les résultats ci- dessus mentionnés, nous ont donné quatre valeurs différentes de la teneur en eau ; alors :
- la valeur de la teneur en eau obtenue au premier essai en 29 coups est 32,3% celle-ci a dépassé la teneur en eau correspondant à la limite de liquidité qui est de 25 coups. Ce qui veut dire que le mortier (échantillon) était plus ou moins sec.
- lorsque nous avions augmenté la teneur en eau au deuxième essai à 35,94%, le constat est que la rainure s’est formée sur 10 mm après 24 coups qui est presque égale à la limite de liquidité correspondant à 25 coups.
- Toujours en continuant l’opération qui est l’augmentation de la teneur en eau pour le troisième et le quatrième essai qui sont respectivement 37,5 % et 36,97 % , nous pouvons constater que la rainure s’est refermée plus rapide que prévu qui sont respectivement de 11 et 15 coups. Cette fois ci on constate que l’échantillon est plus humide.
- Concernant la limite de plasticité, nous l’avions obtenu en diminuant la teneur en eau jusque à avoir 24 % avec séchage de l’échantillon ce qui la rendue plus plastique.

III. CONCLUSION :

Nous pouvons dire que pour tout projet de construction, que se soit une route, un pont ou un bâtiment, l’étude complète s’avère nécessaire d’où une bonne connaissance de ce sol. La reconnaissance du terrain en place est donc un des préliminaires indispensables ; l’un des moyens les plus sûres est de prélever des échantillons autant que possible intacts.
Il faut dans tout les cas compléter cette indication par une analyse granulométrique et une détermination de la limite d’Atterberg. Ces renseignements permettant à l’ingénieur d’identifier les sols et par conséquent se faire une idée de leur comportement.
Nous pouvons conclure que les sols cohérents (sols fins) passent d’un état de consistance à un autre de manière progressive en jouant sur la teneur en eau.
Plus la teneur en eau est grande, plus le nombre de coups (chocs) est petit.
Les limites d’Atteberg permettent de classer les sols fins.
C’est ainsi pour notre sol, d’après le graphe de la limite de liquidité est 34,9% et la limite de plasticité est 24%. Ce qui nous donne un indice de plasticité égale à 11,6 %

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détermination de la masse volumique par methode des peséés hydrostatiques

slution de TP MDC détermination de la masse volumique par methode des peséés hydrostatiques

1. But de l'essai:

Déterminer  la masse volumique de sol fin par la méthode des pesées hydrostatiques

2. Principe d'essai:

L'essai consiste à mesurer successivement les paramètres masse et volume qui caractérisent un même échantillon de sol.
Le volume est déduit de pesées dont l'une est faite après immersion de l'échantillon dans l'eau.

3. Matériel utilise:

- Une balance munie d'un étrier et d'un panier, pour les pesées hydrostatiques, dent les portées maximale et minimal sont compatible avec les masse à peser et telle que les pesées sont effectuées avec une incertitude de=1/1000 de la valeur mesurée.

- Un bac de paraffine avec son système de chauffage.

- Un fil à découper de diamètre inférieur à 1mm.

- Un récipient rempli d'eau déminéralisée ou de qualité équivalente pour immerger le panier suspendu à l'étrier de la balance.

- Un thermomètre de contrôle placé dans la salle d'essai.

4. L'étape de travaille:

1. Prendre un échantillon de sol et le peser  
2. Allumer la résistance pour faire fondre la paraffine.
3. Enduire  l’échantillon  de  paraffine  (On  fera  attention  à  ce que tout l’échantillon soit recouvert de paraffine).
4. Peser l’échantillon paraffiné .
5. Vérifier  que  la  balance  est  en  équilibre (le poids de la Corbeille doit être équilibré avant la pesée dans l’eau).
6. Placer  l’échantillon paraffiné dans  la corbeille prévue pour la pesée. 
7. Peser l’échantillon paraffiné dans l’eau  

Pour calcule:

­ volume de la paraffine: 

­ volume de l'échantillon paraffine:

la masse volumique de l'échantillon: 

5. Expression des résultats:

6. Conclusion:

La méthode des pesées hydrostatiques, cette une méthode utilise pour déterminer la masse volumique d'un sol fin.

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cours physique3 vibrations et ondes de Pr. Djelouah Hakim

cours physique3 vibrations et ondes de Pr. Djelouah Hakim

Pr. Djelouah Hakim c'est un professeur à Faculté de Physique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène à alger, algerie.

Table des matières

1 Introduction aux équations de Lagrange

1.1 Equations de Lagrange pour une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Cas des systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse . . . . . . . . 8

1.1.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps . . . . . . . . . . . 9

1.2 Système à plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté

2.1 Oscillations non amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Energie Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Equation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.5 Résolution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Oscillations libres des systèmes amortis à un degré de liberté . . . . . . . . 12

2.2.1 Equation de Lagrange pour les systèmes dissipatifs . . . . . . . . . 12

2.2.2 Cas particulier des oscillations de faible amplitude . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Résolution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté

3.1 Equation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Système masse-ressort-amortisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Solution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Cas particulier où A(t) = A0 cos(Ωt) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Cas d’une excitation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Impédance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.2 Impédancesmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Systèmes à deux degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Système masses-ressorts en translation . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques . . . . . . . . . . . . 31

4.2.3 Pendules couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté

5.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Système masses-ressorts-amortisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.2 Etude du régime permanent sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Généralités sur les phénomènes de propagation

6.1 Propagation à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1.2 Solution de l’équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1.3 Onde progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales . . . . . . . . 45

6.1.5 Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.6 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1.7 Onde Vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Propagation en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.2 Onde plane progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Cordes vibrantes

7.1 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2 Ondes progressives harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2.2 Force en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.2.3 Impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3 Oscillations libres d’une corde de longueur finie . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.4 Réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.4.1 Réflexion et transmission entre deux cordes semi-infinies . . . . . . 56

7.4.2 Réflexion sur une impédance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Ondes acoustiques dans les fluides

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.2 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.3 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4 Onde progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.4.2 Impédance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.4.3 Energie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.5 Reflexion-Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9 Propagation d’une onde électrique dans une ligne coaxiale

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     68

9.2 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3 Solution de l’équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.4 Onde Progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.4.2 Impédance en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10 Eléments d’analyse vectorielle

10.1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.2 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.3 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5 Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6 Laplacien vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.7 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.8 Théorème de Stokes-Théorème deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.8.1 Circulation d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.8.2 Flux d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.8.3 Théorème de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence) . . 74

11 Les équations de Maxwell dans le vide

11.1 Le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.1.1 Champ électromoteur et vecteur densité de courant . . . . . . . . . 75

11.1.2 Le champmagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.2 Le régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.2.1 Le phénomène de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.2.2 Le phénomène d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.2.3 Le phénomène de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.3 L’induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.3.1 Loi de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.3.2 Equation deMaxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.4 Le théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.4.1 Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.4.2 Le théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.5 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

12.1 Equations de propagation pour 􀂁 E et 􀂁 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

12.2 L’onde plane progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.2.1 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.2.2 Structure de l’onde uniforme plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.3 Onde plane uniforme progressive et sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.3.1 Onde de polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.3.2 Onde de polarisation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12.3.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.4 Energie électromagnétique : vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.4.1 Onde de forme spatiale et temporelle quelconques . . . . . . . . . . 88

12.4.2 Onde plane progressive et uniforme sinusoïdale . . . . . . . . . . . 89

13 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques

13.1 Equations deMaxwell dans lesmilieux parfaits . . . . . . . . . . . . . . . 91

13.2 Propagation dans les milieux diélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

13.3 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.4 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13.5 Formules de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

13.5.1 Champ électrique dans le plan d’incidence . . . . . . . . . . . . . . 96

13.5.2 Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence : . . . . . . . 97

13.5.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13.6 Réflexion sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A Equations différentielles 

A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.2 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.2.1 Régime fortement amorti ( δ > ω0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.2.2 Régime critique ( δ = ωO ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

A.2.3 Régime pseudo-périodique ( δ < ω0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.3 Equation avec secondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.3.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.3.2 Cas particulier où A(t) est constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.3.3 Cas particulier où A(t) = A0 cos(Ωt) : . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.3.4 Cas où A(t) est une fonction périodique du temps . . . . . . . . . . 110

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cours physique3 vibrations et ondes de Pr. Djelouah Hakim

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solution de TP Essai de Cisaillement

INTRODUCTION 

      L’élaboration et l’exécution des projets -tel que les structures (bâtiment) ou l’infrastructure (tracer routier)- en site neuf nécessitent une bonne connaissance des terrains traversés. Pour cela, la connaissance géotechnique constitue une source d’information indispensable.
- L'étude de sa capacité portante.
- L'étude des différents types de fondations que l'on peut préconiser… .

Ces caractéristiques se traduisent en général par deux paramètres très important qui sont:
• L'angle de frottement interne des grains "j".
• La cohésion du sol "C".

 Afin de déterminer ces deux paramètres, nous avons recours à un essai  en laboratoire très sollicités par les ingénieurs qui est "L'essai de cisaillement rectiligne" ou "L'essai de cisaillement à la boite" proposé  Mr. Alexandre COLLIN (1846) et mise au point par le Pr. CASAGRANDE.

#Nota: 
Il existe un autre essai toute aussi important et précis pour déterminer l'angle de frottement interne "j" et la cohésion "C" qui est "L'essai triaxial" que l'on exécutera ultérieurement.
Ainsi que des essais in-situ tel que l'essai au scissomètre, le théotest et le pénétromètre

Quelques définitions :

Sol pulvérulent : (sol grenue):

Les sols pulvérulents regroupent le gravier, le sable et le silt. Ils sont constitués de particules volumineuses, et leur résistance au cisaillement est assurée par le frottement et l’enchevêtrement des particules.

Sol cohérent : (sol fin)

Les sols cohérents sont constitués de particules d’argile en forme de feuillet, et leur résistance au cisaillement provient du frottement et de l’enchevêtrement des particules, ainsi que de la cohésion entre les particules.


L’angle de frottement « φ » :

          Angle que fait la réaction du sol avec la normale de l’ouvrage. Cet angle dépend de la rugosité de la surface et de son déplacement relatif par rapport au sol.
Pour un sable parfait (matériau idéal) qui est :
• un matériau parfaitement granuleux, sans cohésion !
• tri parfait (tous les grains ont ± la même taille)
• grains arrondis
• parfaitement sec
On peut faire un certain nombre d'essais
 Faire couler gentiment sur une table →  beau cône se forme

Déranger ce cône à sa base
o du glissement s'active sur le cône
o la pente se stabilise vers une nouvelle géométrie
o l'angle de la nouvelle pente sera le même.
La cohésion « C » :
       
Aussi appelée forces de cohésion est la résistance au cisaillement d’un sol sous une contrainte normale nulle.
Les matériaux "normaux" résistent aussi à la traction et ont une certaine cohésion.
     
Cette cohésion est liée à la présence, à la surface des particules d’argile, de charges électriques qui engendrent des forces d’attraction entre les particules par l’intermédiaire des impuretés contenues dans l’eau qui sature souvent les sols cohérents. Certaines de ces impuretés
     
On considère qu’un sol est cohérent lorsqu’il comprend plus de 50 % de particules d’argiles. A l’opposé, les sols pulvérulents totalement dépourvus d’argile n’offrent aucune cohésion ; il est d’ailleurs impossible de les façonner.

        Il faut cependant souligner qu’un sable partiellement saturé peut manifester une cohésion dite apparente, créée entre autres par la tension.

BUT DE L'ESSAI :

 Comme nous l'avons souligné précédemment, nous devons déterminer les deux paramètres qui sont "C" et "j"  déduits graphiquement à partir de la courbe intrinsèque du sol t = F(s).

§  tgj  représente la  pente de la courbe.

§  C représente t à   s₀ ( lorsque s = 0 bars)

Donc en premier lieu nous devons tracer cette courbe

Courbe intrinsèque des sols t = F(s) (Cas général)

Le cisaillement d’un sol :

- L’étude au laboratoire, des déplacements des grains d’un sol sous une fondation montre la formation d’un coin rigide sous la fondation. A  l’intérieur de ce coin, les grains s’enfoncent verticalement sans mouvements des uns par rapport aux autres.
- Le schéma mécanique adopté est donc le suivant :

MATERIEL UTILISE 

• La boite de CASAGRANDE.
• Le bâti de consolidation sur lequel on dépose la boite surmontée d'un étrier recevant les poids qui vont fournir la charge N.
• Un échantillon de sol d'environs 250 ml
• Le dispositif de cisaillement qui permet de cisailler le sol à vitesse constante, il est constitué :

                  - D'un anneau dynamométrique.
                  - D'un chariot sur lequel, on vient placer la boite de CASAGRANDE, le chariot est animé par un moteur d'un mouvement de translation à vitesse constante réglable.

DESCRIPTION DU DISPOSITIF:

Le dispositif est constitué comme suit:

• Pierre poreuse: Elle permettent de drainer l'échantillon et elles assurent une bonne adhérence entre l'échantillon et les demi boites.
• Demi boite supérieure: formée d'un cadre et d'un piston elle permet de respecter la charge verticale N sur l'échantillon seulement.
• Demi boite inférieure: Elle est fixe et elle sert de moule.
• Dispositif à contrainte contrôlée: il entraîne la demi boite inférieure à vitesse constante la mesure de la contrainte de cisaillement  est effectué par un dynamomètre.

PRINCIPE D'ESSAI


Nous essayer d'obtenir la l'échantillon suivant un plan imposé.
L'échantillon à la forme d'une plaquette carrée ( 10cm * 10cm * 3cm )  est placé entre deux demi boites indépendantes. On applique un effort N de compression et un effort T de traction suivant le plan de symétrie de la boite.

La connaissance de "N" et "T" permet la détermination d'un point de la courbe intrinsèque.

En répétant plusieurs fois l'expérience, on peut ainsi tracer la courbe intrinsèque du sol appelé "droite de COULOMB" ou "MOHR-COULOMB".

La courbe intrinsèque du sol qui sépare le domaine élastique du domaine plastique dépend de la nature du sol, on distingue pour cela :


• La courbe relative aux sols pulvérulents

• La courbe relative aux sols cohérents :

.MISE EN PLACE D’UN ECHANTILLON DE SABLE 

a. Préparer environ 1 kg de sable sec tamisé à 0- 0,4 mm.

b.  Solidariser les 2 demi boîtes et vérifier  que le piston coulisse  bien dans la demi boîte  (à chaque boîte correspond un piston repéré par un numéro)

c.   Mettre en place une plaque dans le fond de la demi- boîte inférieure

d. Remplir la boîte avec du sable compacté ou non (Le plan de cisaillement doit se trouver sensiblement à mi hauteur  de l’éprouvette (Après mise en place le piston doit dépasser de 1cm).

e.  Araser avec soin la surface du matériau et placer la plaque supérieure et  le piston.

f.  Déterminer la hauteur et la masse initiale de l’échantillon. En déduire son poids volumique

RESULTATS 

Pour chaque position choisie correspond une vitesse de déformation consentante; nous avons choisie la position A 60/30 qui correspond d'après la fiche technique de l’appareil ou du bâti à une vitesse V=1.22 mm/min.

• L'effort tranchant "T" ou la « force nette » est égale au produit du coefficient de raideur (raideur du dynamomètre) à celui de la lecture sur l'anneau du dynamomètre.

•    Pour tracer la courbe intrinsèque du sol (droite de COULOMB) ,il est nécessaire d'avoir au moins deux points. pour plus d'exactitude refaire l'essai autant de fois que possible pour avoir le maximum de point. on se contentera de refaire l'essai trois fois (pour avoir 3 points), pour cela trois contraintes normales serons appliquées, elle sont égale à 1 ; 2 et 3 ,elle correspondent respectivement à un poids P = 2 ; 4 et 6 kg.

Détermination de tpic :

la lecture anneau maximale noté Lpic correspond à l'abscisse t = tpic

Procéder de la même façon pour ce qui concerne les deux autres pressions restantes. 

Les résultats obtenus sont inscrits dans le tableau qui suit :

INTERPRETATION 

L'allure du graphe est linéaire et montre que nous avons affaire à un sol cohérent possèdent une cohésion "C" et un angle de frottement " j ". alors que nous avons supposé que le sol était de nature  pulvérulente, Ceci est peut être du à 

- L'inexactitude des calcul.

- Le mal fonctionnement de la machine

- Ou  peut être que le sol comporte réellement une certaine cohésion,  par conséquent il y a eu attraction des grains, ce qui fait diminuer l’angle de frottement de l’échantillon.

Détermination de " C " et " j " :

La courbe obtenu a l'allure d'une droite de la forme Y = Ax + B où:

-          A : représente la tangente.

-          B : l'ordonnée à x = 0.

  D'autre part nous avons:

                                                  

donc par analogie

  

-          La cohésion " C " représente l'ordonnée à partir  du point  t =0  au point d'intersection de la courbe avec l'axe des y  Þ B = C

-          L'angle de frottement "j" est l'angle formé par la droite de Coulomb avec l'axe des x

CONCLUSION

Ce présent TP nous à permit de déterminer deux paramètres mécanique typique à chaque type de sol  

- La cohésion C

- L'angle de frottement interne des grains j.

Cependant cette essai contient plusieurs imperfections ne reflètent pas des résultats intactes.

Ces imperfections sont dues aux dispositifs lui même ( demi boites, déplacement de l'échantillon, uniformité de la répartition des contraintes, efforts de frottement parasites…)

C'est pourquoi nous avons souvent recours à l'essai triaxial que nous aurons l'opportunité d'étudier ultérieurement 

La cohésion et l’angle de frottement interne sont les paramètres qui servent à calculer la capacité portante des sols à la rupture et la stabilité des murs de soutènement et des pentes. La vitesse à laquelle les charges sont appliquées sur le sol, la perméabilité du sol et les conditions de drainage détermineront le choix des paramètres.    

Enfin, on utilise toujours un seul paramètre, l’angle de frottement interne (φ) dans les sols pulvérulents, car elles sont perméables pour dissiper rapidement les augmentations de la pression interstitielle.

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solution de TP MDF: impact de jet sur plaques

I. But de la manipulation:

Le bute de la manipulation ert de vérifier la validité des expressions théoriques de la force exercée par un jet sur des profils de différentes formes.
DISPOSITIF EXPERIMENTALE :

Le dispositif est constitué d’un tube en PVC vertical, se terminant par une buse et monté sur une petite plateforme circulaire munie de pieds réglables. L’eau du jet ascendant issu de la buse frappe le profil situé à quelques centimètres au dessus de cette dernière. Dériviée, elle récupérée par une parois cylindrique en plexiglas transparent puis évacuée par le bas à l’aide de trous de sortie prévus sur la plateforme circulaire.
La force verticale sur le profil, due au jet, est équilibrée par le poids des masses marquées.
Ces dernières sont à poser sur le plateau monté sur l’axe coulissant sur lequel est vissé le profil. La masse des parties mobiles étant compensée par un ressort, l’quilibre se réalise lorsque le trait sur le plateau se trouve en face de la pointe de la jauge de niveau.
Un trou de mise à l’aire libre est prévu sur le couvercles pour obtenire la pression atmosphérique à l’intérieur du réservoir. L’assemblage de la plateforme, du cylindre et du couvercle se fait à l’aide de trois tiges filetées et écrous moletés.
Le cylindre et le couvercle sont prévus amovibles pour permettre le changement du profil et l’accès à la buse. L’expérience peut se réaliser avec trois profils différents : un profils plan. Un profil conique à 120° et un profil hémisphérique.
L’ensemble se place dans le canal du banc hydraulique et se raccorde à ce dernier à l’aide d’un flexible d’alimentation en eau muni d’un raccord rapide. Le nivellement se réalise à l’aide des pieds réglables de la plateforme circulaire et du niveau à bulle fixé sur le couvercle.

DEROULEMENT DE LA MANIPULATION :

1. Dévisser les écrous moletés qui assemblent le couvercle, le cylindre, le plexiglas et la plateforme circulaire puis soulever le couvercle pour changer le profil. Il se put qu’on doive aussi soulever le cylindre si on veut mesurer le diamètre de la buse ou la changer.

2. Rassembler le dispositif et le placer dans le canal de travail du banc hydraulique puis le relier à l’alimentation en eau de ce dernier à l’aide du flexible avec connecteur rapide conçu à cet effet.

3. Niveler la plateforme du dispositif à l’aide des pieds réglables tout en gardant le couvercle librement assemblé.

4. Vissé les écrous qui serrent le couvercle en cherchant l’horizontalité de ce dernier à l’aide du niveau à bulle.

5. Ramener la pointe de la jauge de niveau en face de la marque sur le plateau porte masses.

6. Placer une masse nominale sur le plateau, s’assurer que la pompe du banc est mise en marche, ouvrir la vanne d’alimentation en eau et régler le débit jusqu’à ce que le plateau revienne au niveau indiqué par la jauge. En nivelant le plateau on doit le faire osciller afin de minimiser l’effet de frottement.

7. Noter la masse placée sur le plateau, le volume d’eau et le temps correspondant pour déterminer le débit.

8. Reprendre 6 et 7 en plaçant des masses additionnelles sur le plateau.

9. Reprendre 1 à 8 en changeant le profil.

Le diamétre de la busee (Ø = 8 mm) est indiqué sur le couvercle et on prendra pour l’accélération de la pesanteur g = 9.81 m/s²

Dispositif expérimental (impact de jet sur plaques)

II. Feuille de travaille:

D’après les résulta on remarque qu’il y a une différence important à cause des erreurs de lecture et de réglage d’instrument de mesure.

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